Remarquez que la commutation de l`ordre des vecteurs dans le produit crois? a simplement chang? tous les signes dans le r?sultat. Nous savons que, AB = | (vec{b} ) | et CD = | (vec{a} ) | (sin{Theta} ). Vous n`avez pas besoin de savoir quoi que ce soit sur les matrices ou les d?terminants pour utiliser l`une des m?thodes. Les deux d`entre eux utilisent le fait que le produit crois? est vraiment le d?terminant d`une matrice 3×3. Ce n`est pas une formule facile ? retenir. Orientez la paume de votre main de sorte que, pendant que vous Enroulez vos doigts, vous puissiez les balayer vers le point dans la direction de B. Avec votre main droite, pointez votre index le long du vecteur a, et pointez votre doigt du milieu le long du vecteur b: le produit crois? va dans la direction de votre pouce. Par la d?finition de la zone d`un triangle, nous avons la zone de ΔABC = (frac{1}{2} ) (AB). Il convient de noter que le produit crois? exige que les deux vecteurs soient des vecteurs tridimensionnels. Lorsque nous formons le produit scalaire de deux vecteurs, nous multiplions la composante parall?le des deux vecteurs. Votre pouce pointe dans la direction de C = AB.
fourni (vec a times vec b ne vec 0 ) alors (vec a times vec b ) est orthogonale ? la fois (vec a ) et (vec b ). En outre, (vec{j} ) x (vec{i} ) = ? (vec{k} ), (vec{k} ) x (vec{j} ) = ? (vec{i} ), (vec{i} ) x (vec{k} ) = ? (vec{j} ). Formalisons ?galement le fait que le produit crois? est orthogonale aux vecteurs originaux. Par cons?quent, si nous avions esquiss? dans (vec b times vec a ) ci-dessus, nous aurions obtenu un vecteur dans la direction descendante. Si A et B sont perpendiculaires les uns aux autres, alors sinf = 1 et C a sa magnitude maximale possible. Si les deux vecteurs, (vec a ) et (vec b ), sont parall?les, l`angle entre eux est soit 0, soit 180 degr?s. Cette m?thode indique de prendre le d?terminant comme indiqu? ci-dessus, puis copier les deux premi?res colonnes sur la fin comme illustr? ci-dessous. L`amplitude du vecteur z?ro est z?ro, de sorte que la zone du parall?logramme est nulle.
Il y a des choses qui semblent incroyables pour la plupart des hommes qui n`ont pas ?tudi? les math?matiques. Bien que cela puisse sembler une d?finition ?trange, ses propri?t?s utiles deviendront bient?t ?videntes. Un type, le produit dot, est un produit scalaire; le r?sultat du produit de point de deux vecteurs est un scalaire. O? (vec{b} ), (vec{a} ) et (hat{n_1} ) forment un syst?me droitier. Si A et B sont parall?les ou anti-parall?les les uns aux autres, alors C = AB = 0, puisque sinf = 0. Ensuite, nous multiplions par le vecteur n pour s`assurer qu`il se dirige dans la bonne direction (? angle droit ? la fois a et b). Calculez le produit crois? entre $ VC{a} = (3,-3, 1) $ et $ VC{b} = (4, 9, 2) $. O? (vec{a} ), (vec{b} ) et (hat{n} ) forment un syst?me droitier. La deuxi?me m?thode est l?g?rement plus facile; Cependant, de nombreux manuels ne couvrent pas cette m?thode car il ne fonctionnera que sur les d?terminants 3×3. Il existe de nombreuses fa?ons d`obtenir deux vecteurs entre ces points. Comme on peut le voir ci-dessus, lorsque le syst?me est tourn? de (vec{a} ) ? (vec{b} ), il se d?place dans la direction de (hat{n} ). O? (Theta ) est l`angle entre (vec{a} ) et (vec{b} ), 0 ? (Theta ) ? (pi ).
Par cons?quent, la zone du parall?logramme est 15 (sqrt{2} ). Le produit vectoriel ou le «produit crois?» de deux vecteurs A et B est un vecteur C, d?fini comme C = AB. Maintenant, nous allons aborder la seule fois o? le produit crois? ne sera pas orthogonale aux vecteurs originaux. Nous pouvons trouver les composants cart?siens de C = AB en termes de composants de A et B. Notez que les barres de valeur absolue sont requises car la quantit? peut ?tre n?gative et le volume n`est pas n?gatif. Que s`est-il pass?? Cela ne nous donne un autre test pour les vecteurs parall?les cependant. Ou, (theta) est parcouru ? partir de (vec{b} ) vers (vec{a} ). Donc, si nous pouvions trouver deux vecteurs que nous savions ?tre dans l`avion et pris le produit crois? de ces deux vecteurs, nous savons que le produit crois? serait orthogonale ? la fois les vecteurs.